Complexification of a vector space
Sea $V$ un espacio vectorial real, y $J: V \rightarrow V$ un $\mathbb{R}$-isomorfismo tal que $J^2=-Id$. Entonces $J$ es llamada una complex structure en $V$. Cuando en un espacio vectorial real tenemos una tal estructura definida, podemos ver ese conjunto $V$ como un espacio vectorial complejo de la siguiente manera:
$$ (\alpha+i\beta)\cdot v=\alpha v+\beta J(v) $$Es fácil comprobar que con esta operacion $V$ es un $\mathbb{C}$-espacio vectorial. We will denote it by $V_J$.
Recíprocamente, si $V$ es un espacio vectorial complejo, se puede considerar como un espacio vectorial real restringiendo los escalares. Y ademas, el automorfismo consistente en multiplicar por $i$ es una estructura compleja.
En particular, consideremos $\mathbb{C}^n$. Si lo identificamos con el $\mathbb{R}$-espacio vectorial $\mathbb{R}^{2n}$, la multiplicación por $i$ induce la estructura compleja
$$ J(x_1,y_1,x_2,y_2,\cdots)=(-y_1,x_1,-y_2,x_2,\cdots) $$cuya matriz en la base canónica es
$$ M= \left( \begin{array}{ccccc} 0 & -1&0&0&\cdots\\ 1 & 0 &0&0&\cdots\\ 0 & 0&0&-1&\cdots\\ 0 & 0&1&0&\cdots\\ \cdots & \cdots &\cdots&\cdots&\cdots\\ \end{array} \right) $$con bloques
$$ \left(\begin{array}{cc}0 & -1\\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) $$en la diagonal.
El automorfismo $J$ recibe el nombre de estructura compleja estándar, y es única en el siguiente sentido:
Lema
Dada cualquier estructura compleja $J_1$ de $\mathbb{R}^{2n}$, existe una matriz regular $A$ tal que $M_1=A\cdot M \cdot A^{-1}$, donde estamos denotando por $M$ y $M_1$ a las matrices de los morfismos $J$ y $J_1$ en la base canónica de $\mathbb{R}^{2n}$.
Proof
Llamemos $C_1^n$ al espacio vectorial complejo originado por $\mathbb{R}^{2n}$ junto con la estructura compleja $J_1$, y sea $\{f_1,f_2,\cdots\}$ una base de dicho $\mathbb{C}$-espacio vectorial. Entonces
$$ \{f_1,J_1(f_1),f_2,J_1(f_2),\cdots\} $$es también base de $\mathbb{R}^{2n}$, con la particularidad de que en dicha base la matriz de $J_1$ es
$$ \left( \begin{array}{ccccc} 0 & -1&0&0&\cdots\\ 1 & 0 &0&0&\cdots\\ 0 & 0&0&-1&\cdots\\ 0 & 0&1&0&\cdots\\ \cdots & \cdots &\cdots&\cdots&\cdots\\ \end{array} \right) $$Si $A$ es la matriz del cambio de base se tiene que
$$ M_1=A\cdot M \cdot A^{-1}. $$$\blacksquare$
Así pues, el espacio cociente $\frac{GL(2n,\mathbb{R})}{GL(n,\mathbb{C})}$ determina todas las estructuras complejas de $\mathbb{R}^{2n}$ mediante la aplicación $[A]\rightarrow A\cdot M \cdot A^{-1}$.
Para comprobarlo primero necesitaremos el siguiente
Lema
Sea $V$ un espacio vectorial real con una estructura compleja $J$, y $h$ una aplicación $\mathbb{R}$-lineal de $V$ en si mismo. El endomorfismo $h$ es $\mathbb{C}$-lineal si y sólo si $h(Jv)=Jh(v)$.
Proof
Trivial. $\blacksquare$
Así pues, consideremos en $\frac{GL(2n,\mathbb{R})}{GL(n,\mathbb{C})}$ las clases $[A]=[B]$, entonces las matrices $AMA^{-1}$ y $BMB^{-1}$ son iguales, pues $AB^{-1} \in GL(n,\mathbb{C})$ y por tanto conmuta con $M$, luego
$$AMA^{-1}=AM(A^{-1}B)(B^{-1}A)A^{-1}=$$
$$ =A(A^{-1}B)M(B^{-1}A)A^{-1}=BMB^{-1}. $$Definition
Given a real vector space $V$, we call the complexification of $V$, and denote it by $V^{\mathbb{C}}$, to the set $V\oplus V$ with the complex structure given by
$$ J : V \oplus V \rightarrow V \oplus V $$such that $J(v, w)=(-w, v)$. Obviously, $V^{\mathbb{C}}$ can be treated like a complex vector space.This can be constructed, alternatively, using tensor product. See the document in Calibre Complexification, complex structures, inner products, symplectic forms and linear differential equations'' for a good outline of this subject.
Complexification and conjugation
Given a vector space $V$ and its complexificated $V^{\mathbb{C}}$, we have a map $C$ (conjugation) that is involutive, $C^2=Id$, and such that the subspace of $V^{\mathbb{C}}$ sucht that
$$ C(v)=v $$is just the proper $V$. But, given any other map like $C$, say $D$, the subspace such that
$$ D(v)=v $$is a real vector space, call it $W$, such that $V^{\mathbb{C}}=W^{\mathbb{C}}$. See
\begin{verbatim}
\end{verbatim}
and TRTR page 414.
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Author of the notes: Antonio J. Pan-Collantes
INDEX: